Współrzędne sferyczne (r, θ, φ) opisują punkt w 3D przez:
- r – odległość punktu od początku układu,
- θ – kąt zenitalny mierzony od dodatniego kierunku osi Z (θ=0 na osi Z),
- φ – azymut w płaszczyźnie XY (kąt odmierzany wokół osi Z).
W tej konwencji matematycznej składowa Z to rzut wektora promienia na oś Z, więc wynosi Z = r·cos(θ). Pozostała część wektora leży w płaszczyźnie XY i ma długość r·sin(θ) (bo sin(θ) daje "odchylenie" od osi Z). Tę długość rozkładamy następnie na osie X i Y przy użyciu azymutu φ:
- X = (r·sin(θ))·cos(φ),
- Y = (r·sin(θ))·sin(φ).
Dlatego poprawny jest zestaw: X=r·sin(θ)·cos(φ), Y=r·sin(θ)·sin(φ), Z=r·cos(θ).
Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne?
- Opcja z Z=r·sin(θ) odpowiada innej konwencji, w której θ jest liczony od płaszczyzny równika (często utożsamiany z szerokością); wtedy sin i cos "zamieniają się rolami" względem osi Z.
- Pozostałe dwie opcje mieszają funkcje sin/cos przy różnych osiach albo "przestawiają" zależność od φ, przez co składowe X i Y nie są prawidłowym rozkładem rzutu na płaszczyznę XY.
W praktyce egzaminacyjnej najpewniejsza metoda to zapamiętać dwa kroki: (1) Z zależy od cos(θ) przy kącie zenitalnym, (2) rzut na XY ma długość r·sin(θ) i dopiero on jest dzielony na X oraz Y przez cos(φ) i sin(φ).
