Kwalifikacje w Zawodzie - Testy zawodowe online | Egzaminy Zawodowe

KWALIFIKACJA BUD18 - CZERWIEC 2021



PYTANIE NR 39.
Długości boków działki w kształcie kwadratu pomierzono z jednakowym błędem ±3 cm. Ile wynosi błąd wyznaczenia pola powierzchni działki, jeżeli długość boku wynosi 100 m?
A.
B.
C.
D.
Wyjaśnienie poprawnej odpowiedzi:
Pole kwadratu wynosi A=a2, więc przy małym błędzie długości boku da błąd pola szacuje się liniowo: dA≈|2a|·da. Dla a=100 m oraz da=0,03 m otrzymujemy dA≈2·100·0,03=6 m2. Znak ± oznacza ten sam rząd odchylenia w górę i w dół.

Pełne wyjaśnienie:

Pole kwadratu o boku a opisuje wzór A=a2. Jeżeli długość boku została zmierzona z jednakowym błędem (w praktyce: z takim samym błędem granicznym) ±da, to błąd wyznaczenia pola można oszacować metodą przybliżenia liniowego (propagacji błędu) z użyciem pochodnej:

dA ≈ |dA/da| · da = |2a| · da.

W zadaniu: a=100 m, a błąd pomiaru boku to ±3 cm. Najpierw trzeba zachować spójność jednostek: 3 cm = 0,03 m. Następnie podstawiamy:

dA ≈ 2 · 100 m · 0,03 m = 6 m2.

Dlatego poprawny wynik to ±6 m2: tyle wynosi przybliżony błąd bezwzględny pola wynikający z błędu pomiaru boku.

Dlaczego pozostałe odpowiedzi są niepoprawne?

  • ±3 m2 zwykle wynika z pominięcia czynnika 2 (błędne różniczkowanie lub intuicyjne "przeniesienie" błędu długości na pole).
  • ±30 m2 może wynikać z błędnego przeliczenia 3 cm na 0,3 m albo z niepoprawnego skalowania wyniku.
  • ±60 m2 typowo pojawia się przy dodatkowym błędzie jednostek lub przy błędnym założeniu, że błąd rośnie "dziesięciokrotnie" przez kwadratowanie 100 m.

W praktyce geodezyjnej takie oszacowanie pomaga ocenić, czy dokładność pomiaru długości jest wystarczająca dla wymaganej dokładności opracowania powierzchni (np. w obliczeniach kontrolnych lub analizie jakości wyników).

Dodatkowe pytania

Dodatkowe pytania (FAQ):
Jak obliczyć błąd pola kwadratu z błędu pomiaru boku?
Użyj przybliżenia liniowego: dla A=a2 pochodna wynosi 2a, więc błąd pola szacuje się jako dA≈2a·da. Najpierw przelicz da na metry, potem podstaw a w metrach. Wynik ma jednostkę m2 i zapisuje się jako ±dA.
Dlaczego w propagacji błędu pojawia się współczynnik 2a?
Ponieważ pole kwadratu zależy od boku w drugiej potędze: A=a2. Zmiana pola przy małej zmianie boku jest opisana pochodną A'(a)=2a. To właśnie pochodna mówi, jak "wrażliwe" jest pole na błąd pomiaru długości.
Co oznacza zapis błędu w postaci ± w zadaniach geodezyjnych?
Zapis ± oznacza błąd graniczny (symetryczny) lub szacowaną niepewność wokół wartości wyznaczonej. W praktyce mówi, że wynik może być większy lub mniejszy o podaną wartość. W tym zadaniu pole może się różnić o około 6 m2 w obie strony.
Jak przeliczyć 3 cm na metry, żeby nie pomylić jednostek?
1 cm = 0,01 m, więc 3 cm = 3·0,01 m = 0,03 m. W geodezji to częsty krok, bo długości boków działek podaje się zwykle w metrach, a dokładności pomiaru w centymetrach lub milimetrach.
Czy można liczyć błąd pola bez rachunku pochodnej?
Można przybliżyć intuicyjnie, ale najpewniejsza i najczęściej wymagana na egzaminie metoda to różniczka: dA≈2a·da. Metody "na oko" łatwo prowadzą do pominięcia czynnika 2 lub błędów jednostek, co zmienia wynik nawet kilkukrotnie.
Jakie są najczęstsze błędy w zadaniach o błędzie pola działki?
Najczęściej: (1) brak przeliczenia cm na m, (2) pominięcie czynnika 2 w dA≈2a·da, (3) mylenie m z m2, (4) wybór odpowiedzi "większej", bo pole jest duże. Warto zawsze zapisać wzór A=a2 i jednostki.
Kiedy w geodezji potrzebne jest oszacowanie błędu powierzchni?
Gdy z pomiarów terenowych obliczasz wielkości pochodne, np. pole działki, powierzchnię konturu użytku lub elementy do obliczeń kontrolnych. Oszacowanie błędu pomaga ocenić jakość opracowania i dobrać metodę pomiaru, aby spełnić wymagania dokładnościowe pracy.
Czy błąd pola zależy bardziej od długości boku czy od dokładności pomiaru?
Z przybliżenia dA≈2a·da wynika, że zależy liniowo od obu: im większy bok a, tym większy błąd pola przy tym samym da; im gorsza dokładność (większe da), tym większy błąd pola. Dlatego przy dużych obiektach wymagania na dokładność długości bywają bardziej rygorystyczne.
Jak sprawdzić, czy wynik błędu pola ma sens rzędu wielkości?
Porównaj błąd z polem: A=1002=10000 m2, a dA≈6 m2, czyli błąd względny to ok. 6/10000=0,0006 (0,06%). Taki rząd wielkości pasuje do błędu długości 0,03% (3 cm na 100 m) i zależności kwadratowej.
Jak przygotować się do zadań z propagacji błędów na egzaminie BUD.18?
Przećwicz schemat: (1) zapisz zależność (np. A=a2), (2) policz pochodną po mierzonej wielkości, (3) ujednolić jednostki, (4) podstaw liczby i zapisz ±. Trenuj też podobne przypadki: prostokąt, objętość, różnice wysokości.
info

To pytanie poprawnie rozwiązuje 52% zdających egzamin. trudne

Specjaliści zwracają uwagę: "Pole kwadratu wynosi A=a2, więc przy małym błędzie długości boku da błąd pola szacuje się liniowo: dA≈|2a|·da."

Źródła:

  • JCGM 100:2008, "Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM)", rozdziały dot. propagacji niepewności (metoda pochodnych).
  • John R. Taylor, "An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements", rozdział o propagacji niepewności przez różniczkowanie (wydanie książkowe).

Materiały:

  • Podręczniki z geodezji inżynieryjnej / rachunku wyrównawczego (dział: rachunek błędów i propagacja niepewności)
  • Materiały dydaktyczne o propagacji niepewności pomiaru (metoda różniczki zupełnej)
  • Ćwiczenia rachunkowe z obliczania pól i szacowania błędów w zadaniach geodezyjnych
Zobacz też:

Aktualizacja pytania: 31.03.2026



Aktualizacja pytania: 31.03.2026
📡 Brak połączenia internetowego