W idealnym kondensatorze prąd jest proporcjonalny do szybkości zmian napięcia, co opisuje równanie:
i(t) = C · du(t)/dt
Jeżeli prąd zmienia się sinusoidalnie, np. i(t)=Im·sin(ωt), to aby otrzymać napięcie, należy przekształcić równanie do postaci całkowej:
du(t)/dt = i(t)/C, czyli u(t) = (1/C)∫ i(t) dt (z uwzględnieniem stałej całkowania, która w stanie ustalonym AC nie wpływa na przebieg sinusoidalny).
Całka z sinusa daje cosinusa z odpowiednim współczynnikiem:
- ∫ sin(ωt) dt = −cos(ωt)/ω
Po podstawieniu otrzymujemy, że amplituda napięcia jest równa:
Um = Im/(ωC)
oraz że napięcie jest przesunięte w fazie o 90° za prądem. W zapisie sinusowym odpowiada temu postać sin(ωt − 90°) (równoważnie można spotkać zapis cosinusowy bez przesunięcia lub z inną konwencją, ale sens fizyczny pozostaje ten sam: prąd wyprzedza napięcie w kondensatorze).
Dlaczego pozostałe typowe odpowiedzi są błędne?
- Wzory bez czynnika 1/(ωC) pomijają fakt, że dla wyższej częstotliwości (większe ω) kondensator ma mniejszą reaktancję i do tego samego prądu potrzeba mniejszej amplitudy napięcia.
- Wzory z ωC zamiast 1/(ωC) odwracają zależność częstotliwościową (dawałyby większe napięcie dla większej ω, co nie odpowiada zachowaniu kondensatora w AC).
- Wzory bez przesunięcia fazowego lub z przesunięciem +90° mylą relację faz: w kondensatorze to prąd wyprzedza napięcie, a nie odwrotnie.
Wskazówka egzaminacyjna: zapamiętaj parę "C: Current ahead" (prąd wyprzedza), a dla amplitud w AC korzystaj z reaktancji pojemnościowej XC=1/(ωC), wtedy Um=Im·XC.
