W ciągu poligonowym zamkniętym (geometrycznie odpowiadającym wielobokowi) suma kątów wewnętrznych jest wielkością wynikającą z czystej geometrii i zależy wyłącznie od liczby wierzchołków/boków n. W układzie gradowym (gony) półpełny kąt ma wartość 200g, a pełny 400g.
Dla wieloboku o n wierzchołkach można go podzielić na (n−2) trójkąty. Każdy trójkąt ma sumę kątów równą 200g, więc łączna suma kątów wewnętrznych wieloboku wynosi:
[β] = (n−2)·200g
To jest wzór stosowany jako kontrola pomiaru kątów w zamkniętym poligonie: po zsumowaniu zmierzonych kątów porównuje się wynik z wartością teoretyczną, a różnica informuje o błędzie domknięcia kątowego.
Dlaczego pozostałe propozycje są niepoprawne?
- Wzory z członami Ak − Ap + n·200g lub Ap − Ak + n·200g nie opisują sumy kątów wewnętrznych wieloboku. Taki zapis jest charakterystyczny dla zależności kontrolnych związanych z kierunkami/azymutami (różnicą azymutów końcowego i początkowego) w obliczeniach poligonowych, a nie dla czysto geometrycznej sumy kątów wewnętrznych.
- Wyrażenie (n+2)·200g ma niewłaściwą korektę względem n. Test zdroworozsądkowy: dla trójkąta (n=3) suma kątów powinna wynosić 200g, natomiast (n+2)·200g dałoby 1000g, co jest sprzeczne z geometrią.
Wskazówka egzaminacyjna: gdy widzisz "suma kątów wewnętrznych" i "zamknięty", szukaj wzoru zależnego wyłącznie od n. Pojawienie się azymutów (Ap, Ak) zwykle oznacza, że to inny typ zależności kontrolnej, a nie suma kątów wieloboku.
