Kwalifikacje w Zawodzie - Testy zawodowe online | Egzaminy Zawodowe

KWALIFIKACJA ELE2 - STYCZEŃ 2013



PYTANIE NR 20.
Napięcie sinusoidalnie przemienne o wartości skutecznej U = 400 V, fazie początkowej φ = -30° i częstotliwości f = 50 Hz ma wartość chwilową opisaną równaniem:
Ilustracja przedstawia cztery różne równania matematyczne opisujące wartość chwilową napięcia sinusoidalnie przemiennego.
A.
B.
C.
D.
Wyjaśnienie poprawnej odpowiedzi:
Aby zapisać napięcie chwilowe sinusoidalne, trzeba przeliczyć wartość skuteczną na amplitudę: Um=U√2=400√2 V. Następnie wyznaczyć pulsację: ω=2πf=2π·50=100π≈314 rad/s. Fazę −30° zamienia się na radiany: −π/6. Otrzymujemy u(t)=400√2·sin(314t−π/6) V.

Pełne wyjaśnienie:

Przebieg sinusoidalny napięcia w dziedzinie czasu zapisuje się najczęściej w postaci:

u(t)=Um·sin(ωt+φ)

gdzie Um to amplituda (wartość maksymalna), ω to pulsacja w rad/s, a φ to faza początkowa (najlepiej w radianach, jeśli w argumencie funkcji występuje ωt).

  • Krok 1 – amplituda z wartości skutecznej. Dla sinusoidy zachodzi zależność U=Um/√2, więc Um=U√2. Przy U=400 V otrzymujemy Um=400√2 V. Częsty błąd polega na pozostawieniu 400 jako amplitudy, ale 400 V to tutaj wartość skuteczna.
  • Krok 2 – pulsacja z częstotliwości. ω=2πf. Dla f=50 Hz: ω=2π·50=100π rad/s, co w przybliżeniu daje 314 rad/s. Błędne jest wpisanie wprost "50t" w argumencie sinusa, bo 50 jest w Hz, a nie w rad/s.
  • Krok 3 – faza w spójnych jednostkach. Jeśli faza jest dana w stopniach (−30°), zamienia się ją na radiany: −30°=−π/6. W praktyce można też pozostać przy stopniach, ale wtedy cały argument musiałby być w stopniach; przy ω w rad/s standardowo stosuje się radiany.

Po złożeniu wyników dostaje się równanie chwilowe: u(t)=400√2·sin(314t−π/6) V (równoważnie można zapisać z ω=100π zamiast 314). Pozostałe warianty odpowiedzi bywają niepoprawne, gdy używają 400 zamiast 400√2, mylą ω z f albo mają fazę o złym znaku bądź w niespójnych jednostkach.

Dodatkowe pytania

Dodatkowe pytania (FAQ):
Jak przeliczyć wartość skuteczną napięcia na amplitudę sinusoidy?
Dla czystej sinusoidy zachodzi zależność: U = Um/√2. To znaczy, że amplituda (wartość maksymalna) wynosi Um = U√2. W zadaniach egzaminacyjnych najczęstsza pułapka to traktowanie wartości skutecznej jako amplitudy.
Co oznacza faza początkowa φ w równaniu u(t)=Um·sin(ωt+φ)?
Faza początkowa φ mówi, od jakiej "pozycji" na sinusoidzie startuje przebieg w chwili t=0. Zmienia przesunięcie przebiegu w czasie (w lewo lub w prawo). W praktyce trzeba pilnować znaku fazy oraz tego, czy liczona jest w stopniach czy w radianach.
Jak obliczyć pulsację ω, gdy znam częstotliwość f?
Pulsację wyznacza się ze wzoru ω = 2πf. Dla sieci 50 Hz otrzymuje się ω = 2π·50 = 100π ≈ 314 rad/s. Błąd polega na wpisaniu w równaniu "50t", choć argument sinusa przy ω powinien być w radianach.
Dlaczego w równaniu napięcia często pojawia się liczba 314 przy 50 Hz?
Liczba 314 to zaokrąglenie wartości 2π·50, czyli pulsacji dla częstotliwości 50 Hz. Ponieważ 2π ≈ 6,283, to 6,283·50 ≈ 314. To wygodne przy zapisie u(t)=Um·sin(314t+φ), ale równie poprawny jest zapis z 100π.
Jak zamienić fazę −30° na radiany w zadaniu z prądem przemiennym?
Do przeliczenia stopni na radiany używa się proporcji: 180° = π. Zatem −30° = −30/180·π = −π/6. Warto zapamiętać typowe kąty: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2.
Co jest częstym błędem przy zapisie u(t) z podanym U=400 V?
Najczęściej myli się wartość skuteczną z amplitudą. Jeśli U=400 V jest wartością skuteczną, to w równaniu chwilowym trzeba użyć amplitudy 400√2 V. Pominięcie √2 daje zaniżoną amplitudę i prowadzi do błędnego równania.
Czy można zostawić ω jako 100π zamiast 314 w równaniu napięcia?
Tak. Zapis ω=100π rad/s jest dokładny, a 314 rad/s to tylko przybliżenie. Na egzaminach zwykle akceptuje się oba zapisy, o ile reszta równania jest spójna (amplituda z √2 i faza w radianach przy ω).
Jak sprawdzić, czy znak fazy w odpowiedzi jest poprawny?
Najprościej podstaw t=0 do równania. Wtedy u(0)=Um·sin(φ). Jeśli faza jest ujemna, wartość sinusa też zmienia znak odpowiednio do φ. Niewłaściwy znak fazy daje inne u(0), czyli inny punkt startowy przebiegu.
Gdzie w pracy technika gazownictwa spotyka się zagadnienia 400 V i 50 Hz?
Parametry 50 Hz oraz 230/400 V pojawiają się w zasilaniu urządzeń towarzyszących instalacjom gazowym: automatyki, sterowników, detektorów, wentylacji czy zasilaczy. Umiejętność interpretacji RMS, częstotliwości i fazy pomaga w diagnostyce i bezpiecznej eksploatacji.
Jakie są szybkie kroki na egzaminie, żeby nie pomylić U, Um i ω?
Stosuj schemat: (1) z U wyznacz Um=U√2, (2) z f wyznacz ω=2πf, (3) fazę w stopniach zamień na radiany, (4) zapisz u(t)=Um·sin(ωt+φ). Ten algorytm minimalizuje pomyłki.
info

Statystycznie 50% uczniów zna prawidłową odpowiedź. trudne

W praktyce zawodowej kluczowe jest to, że aby zapisać napięcie chwilowe sinusoidalne, trzeba przeliczyć wartość skuteczną na amplitudę: Um=U√2=400√2 V.

Źródła:

  • Wikipedia: Root mean square (sekcja o sinusoidzie: RMS = A/√2) https://en.wikipedia.org/wiki/Root_mean_square - accessed 2026-03-01
  • Wikipedia: Angular frequency (zależność ω = 2πf) https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_frequency - accessed 2026-03-01
  • Wikipedia: Radian (zależność stopnie–radiany, m.in. 180° = π rad) https://en.wikipedia.org/wiki/Radian - accessed 2026-03-01

Materiały:

  • Podstawy elektrotechniki (rozdziały: prąd przemienny sinusoidalny, wartości skuteczne, fazory)
  • Karty katalogowe i instrukcje urządzeń automatyki zasilanych z sieci 50 Hz (sekcja: zasilanie i parametry AC)
  • Materiały dydaktyczne z matematyki: trygonometria, radiany, przeliczenia stopnie–radiany
Zobacz też:

Aktualizacja pytania: 31.03.2026



Aktualizacja pytania: 31.03.2026
📡 Brak połączenia internetowego