Kwalifikacje w Zawodzie - Testy zawodowe online | Egzaminy Zawodowe

KWALIFIKACJA BUD18 - TEST WIEDZY NR 4



PYTANIE NR 2.
Wykorzystując poniższą tabelę z danymi o trójkącie ABC, oblicz wartość kąta B.
BokDługość
AB15 m
BC20 m
AC25 m

Które twierdzenie zastosujesz, aby wyznaczyć kąt B na podstawie trzech boków, i jaka będzie jego wartość?
A.
B.
C.
D.
Wyjaśnienie poprawnej odpowiedzi:
Mając trzy boki trójkąta, kąt wyznacza się z twierdzenia cosinusów.
Liczymy: cos B = (AB2 + BC2 − AC2)/(2·AB·BC) = (152+202−252)/(2·15·20)=0, więc B=90°.

Pełne wyjaśnienie:

W zadaniu znamy wszystkie trzy boki trójkąta (AB, BC, AC). Gdy celem jest obliczenie kąta na podstawie trzech długości, standardowym narzędziem jest twierdzenie cosinusów (umożliwia przejście z danych typu SSS na kąt).

Dla kąta B (między bokami BA i BC) bokiem leżącym naprzeciw tego kąta jest AC. Stosujemy więc wzór:

cos B = (AB² + BC² − AC²) / (2·AB·BC)

Podstawiamy dane:

  • AB² = 15² = 225
  • BC² = 20² = 400
  • AC² = 25² = 625

Obliczamy licznik: 225 + 400 − 625 = 0. Mianownik: 2·15·20 = 600. Zatem:

cos B = 0/600 = 0, więc B = arccos(0) = 90°.

Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne?

  • Twierdzenie sinusów, 90° – samo twierdzenie sinusów nie pozwala wyznaczyć kąta z danych SSS bez dodatkowych informacji (np. jednego kąta). Można je stosować po wyznaczeniu kąta inną metodą.
  • Twierdzenie cosinusów, 53,13° – ta wartość odpowiada innemu kątowi w trójkącie o bokach 15-20-25 (kątowi naprzeciw boku długości 20), ale nie kątowi B, który leży naprzeciw AC=25.
  • Twierdzenie cosinusów, 36,87° – analogicznie, to wartość innego kąta (naprzeciw boku 15), nie kąta B.

Wskazówka egzaminacyjna: najpierw przyporządkuj "bok naprzeciw kąta", dopiero potem podstawiaj do wzoru. To minimalizuje pomyłki w wyborze kąta.

Dodatkowe pytania

Dodatkowe pytania (FAQ):
Jak obliczyć kąt w trójkącie, gdy znam wszystkie trzy boki?
Gdy znasz trzy boki (przypadek SSS), stosujesz twierdzenie cosinusów. Dla kąta między dwoma bokami podstawiasz długości tych boków oraz boku naprzeciw kąta do wzoru na cosinus, a następnie liczysz arccos z otrzymanej wartości.
Co to jest twierdzenie cosinusów i do czego służy w geodezji?
Twierdzenie cosinusów łączy długości boków trójkąta z cosinusem kąta. W geodezji przydaje się w obliczeniach triangulacyjnych i kontrolnych, gdy z pomiarów masz trzy odległości i chcesz wyznaczyć kąt lub sprawdzić spójność danych w trójkącie.
Dlaczego w tym zadaniu nie wystarczy twierdzenie sinusów?
Twierdzenie sinusów wymaga co najmniej jednej znanej pary: kąt–bok naprzeciw. Przy samych trzech bokach (SSS) nie masz na start żadnego kąta, więc nie wyznaczysz jednoznacznie pozostałych kątów bez użycia innego narzędzia, np. twierdzenia cosinusów.
Jak rozpoznać, że trójkąt o bokach 15, 20, 25 jest prostokątny?
Sprawdzasz zależność pitagorejską: 152 + 202 = 225 + 400 = 625, a 252 = 625. Skoro suma kwadratów krótszych boków równa się kwadratowi najdłuższego, trójkąt jest prostokątny, a kąt naprzeciw boku 25 ma 90°.
Który bok jest naprzeciw kąta B w trójkącie ABC?
W standardowym oznaczeniu trójkąta ABC bok naprzeciw kąta przy wierzchołku B to bok AC. Ta identyfikacja jest kluczowa przy podstawianiu do twierdzenia cosinusów i przy kontroli, czy obliczasz właściwy kąt.
Jakie są najczęstsze błędy przy stosowaniu twierdzenia cosinusów?
Najczęściej myli się bok naprzeciw danego kąta (podstawia się zły bok do wzoru), popełnia się błędy w potęgowaniu (np. 252) albo w mianowniku (2·a·b). Częsty jest też błąd kalkulatora: zły tryb (radiany zamiast stopni).
Czy wynik cos B = 0 zawsze oznacza kąt 90°?
Tak, w zakresie kątów trójkąta (0°–180°) wartość cos = 0 odpowiada kątowi 90°. W praktyce egzaminacyjnej, gdy po obliczeniach z twierdzenia cosinusów wychodzi 0, to jest to szybki sygnał, że masz do czynienia z kątem prostym.
Jak sprawdzić na egzaminie, czy obliczony kąt jest logiczny?
Wykonaj kontrolę: (1) suma kątów w trójkącie to 180°, (2) największy bok leży naprzeciw największego kąta, (3) jeśli dane spełniają a2+b2=c2, to kąt naprzeciw c ma 90°. Te trzy testy szybko wychwytują pomyłki.
Jakie znaczenie mają obliczenia trójkątów w pracy technika geodety?
Obliczenia w trójkątach są podstawą wielu metod: wcięć, triangulacji, kontroli osnowy i opracowania wyników pomiarów. Pozwalają przeliczać dane z pomiarów długości na kąty i odwrotnie, a także oceniać, czy zebrane obserwacje są spójne i możliwe geometrycznie.
Jak przygotować się do zadań z kątami i bokami na BUD.18?
Ćwicz rozpoznawanie przypadków: SSS (cosinusy), ASA/AAS (sinusy), trójkąt prostokątny (Pitagoras i funkcje trygonometryczne). Rób krótkie kontrolne rachunki bez kalkulatora (kwadraty liczb) i zawsze zapisuj, który bok jest naprzeciw którego kąta.
info

Statystycznie 56% uczniów zna prawidłową odpowiedź. średnie

Specjaliści zwracają uwagę: "Mając trzy boki trójkąta, kąt wyznacza się z twierdzenia cosinusów.Liczymy: cos B = (AB2 + BC2 − AC2)/(2·AB·BC) = (152+202−252)/(2·15·20)=0, więc B=90°."

Źródła:

  • Wikipedia (pl): "Twierdzenie cosinusów" – opis i wzór, https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_cosinus%C3%B3w (dostęp: 2026-02-24)
  • Wikipedia (pl): "Twierdzenie Pitagorasa" – zależność dla trójkąta prostokątnego, https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Pitagorasa (dostęp: 2026-02-24)
  • Khan Academy (pl): "Prawo cosinusów (law of cosines)" – wyznaczanie kąta z trzech boków, https://pl.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-trig/hs-geo-law-of-cosines/a/law-of-cosines (dostęp: 2026-02-24)

Materiały:

  • Podręcznik/kompendium z trygonometrii płaskiej (dział: twierdzenie cosinusów i sinusów)
  • Materiały dydaktyczne z geodezji: triangulacja i obliczenia w trójkątach
  • Zestawy zadań maturalnych/technicznych z geometrii i trygonometrii (zadania na wyznaczanie kątów z boków)
Zobacz też:

Aktualizacja pytania: 03.04.2026



Aktualizacja pytania: 03.04.2026
📡 Brak połączenia internetowego