Kwalifikacje w Zawodzie - Testy zawodowe online | Egzaminy Zawodowe

KWALIFIKACJA BUD18 - STYCZEŃ 2019



PYTANIE NR 39.
Bok kwadratowej działki a = 100,00 m zmierzono z błędem średnim ma = ±5 cm. Ile wynosi wartość błędu średniego mp obliczenia pola P działki?
A.
B.
C.
D.
Wyjaśnienie poprawnej odpowiedzi:
Pole kwadratu wynosi P = a2, więc błąd średni pola wyznacza się z propagacji: mp ≈ |dP/da|·ma = 2a·ma. Po zamianie ma=5 cm=0,05 m: mp=2·100·0,05=10 m2.

Pełne wyjaśnienie:

Obliczamy błąd średni (w ujęciu szkolnym: przeniesienie błędu) pola kwadratowej działki. Dla kwadratu:

P = a2

Jeżeli znamy błąd średni pomiaru boku ma, to dla funkcji jednej zmiennej stosuje się liniową propagację błędu:

mp ≈ |dP/da| · ma

Liczymy pochodną:

dP/da = 2a

Podstawiamy dane. Najpierw konwersja jednostek: 5 cm = 0,05 m. Następnie:

mp = 2 · 100,00 m · 0,05 m = 10 m2

To jest wartość błędu średniego pola (bezwzględna, w jednostkach pola).

Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne?

  • ±5 m2 – typowy wynik pominięcia czynnika 2 (z pochodnej 2a) albo intuicyjnego "przepisania" błędu boku na pole bez analizy zależności P(a).
  • ±1 m2 – często wynika z błędnej konwersji 5 cm na 0,005 m lub z nieuprawnionego użycia błędu względnego w złej postaci.
  • ±20 m2 – pojawia się przy podwójnym "doliczeniu" czynnika 2 (np. 2·2a·ma) albo przy błędnym przyjęciu ma=0,10 m zamiast 0,05 m.

Wskazówka egzaminacyjna: zawsze sprawdzaj wymiarowość: a ma jednostkę metra, ma też metr, więc mp musi wyjść w m2.

Dodatkowe pytania

Dodatkowe pytania (FAQ):
Jak oblicza się błąd średni pola kwadratu z błędu boku?
Dla kwadratu P=a². Stosuje się propagację: mp≈|dP/da|·ma. Ponieważ dP/da=2a, otrzymujesz mp=2a·ma. Kluczowe jest użycie tych samych jednostek (m i m²).
Dlaczego w propagacji błędu pojawia się pochodna dP/da?
Pochodna opisuje, jak silnie wynik (pole) zmienia się przy małej zmianie argumentu (boku). Jeśli pole rośnie jak a², to mała pomyłka w długości jest "wzmacniana" proporcjonalnie do 2a. Dlatego błąd pola to w przybliżeniu nachylenie funkcji razy błąd pomiaru.
Co trzeba zrobić z wartością 5 cm, zanim policzę błąd pola?
Trzeba sprowadzić błąd do tych samych jednostek co bok, czyli do metrów. 5 cm = 0,05 m. Dopiero wtedy liczysz mp=2a·ma. Bez konwersji łatwo uzyskać wynik o rząd wielkości za duży lub za mały.
Jakie jednostki powinien mieć błąd średni pola m_p?
Pole jest w m², więc błąd (niepewność) pola też musi być w m². To prosty test poprawności: w obliczeniu występuje 2a·ma, czyli metr razy metr. Jeśli wychodzi cm² lub m, to znaczy, że gdzieś pomylono jednostki.
Czy w takim zadaniu liczy się błąd bezwzględny czy względny?
Podane jest ma jako błąd średni długości, czyli informacja bezwzględna (w jednostkach długości). Z niego wyznacza się błąd bezwzględny pola mp w m². Błąd względny można policzyć dodatkowo, ale nie jest tu wymagany.
Jakie są najczęstsze błędy w zadaniach o błędzie pola działki?
Najczęściej: (1) pominięcie czynnika 2 z pochodnej, (2) zła zamiana cm → m, (3) mylenie pola kwadratu z polem prostokąta, (4) nieuwzględnienie, że wynik błędu pola musi być w m². Pomaga kontrola wymiarów i zapis kroków.
Jak policzyć błąd pola, gdy figura nie jest kwadratem, tylko prostokątem?
Dla prostokąta P=a·b i propagacja obejmuje oba wymiary. W prostym ujęciu szkolnym liczy się wkład od a i od b osobno (z pochodnych cząstkowych), a następnie łączy (często przez sumę kwadratów). Dokładny wzór zależy od przyjętego modelu błędów.
Czy wynik m_p = 10 m2 jest duży czy mały dla działki 100×100 m?
Pole działki wynosi 10 000 m². Błąd 10 m² to ok. 0,1% w ujęciu względnym. W praktyce ocena "duży/mały" zależy od celu: inne wymagania są przy obliczeniach projektowych, inne przy analizach orientacyjnych. Na egzaminie ważna jest poprawna metoda.
Kiedy w geodezji używa się pojęcia "błąd średni", a kiedy "niepewność"?
W materiałach szkolnych i starszych opracowaniach często spotyka się "błąd średni". W nowszym podejściu metrologicznym częściej mówi się o niepewności (np. standardowej). W prostych zadaniach egzaminacyjnych rachunek bywa identyczny, ale warto rozumieć, że chodzi o opis rozrzutu wyników.
Jak szybko rozpoznać na egzaminie, że trzeba użyć m_p = 2a·m_a?
Jeśli wynik jest polem kwadratu i dana jest dokładność pomiaru boku, to zależność P=a² sugeruje propagację przez pochodną. Zapamiętaj schemat: m(wyniku)=|pochodna|·m(argumentu) dla jednej zmiennej. Dla kwadratu pochodna zawsze daje 2a.
info

Statystycznie 47% uczniów zna prawidłową odpowiedź. trudne

Specjaliści zwracają uwagę: "Pole kwadratu wynosi P = a2, więc błąd średni pola wyznacza się z propagacji: mp ≈ |dP/da|·ma = 2a·ma."

Źródła:

  • J.R. Taylor, "An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements", University Science Books, wyd. 2, rozdz. 3 (propagacja niepewności funkcji).
  • B. Ghilani, P.R. Wolf, "Elementary Surveying: An Introduction to Geomatics", Pearson, rozdziały dotyczące dokładności pomiarów i analizy błędów (propagacja niepewności).
  • ISO/IEC Guide 98-3:2008, "Uncertainty of measurement — Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995)", sekcje dot. przenoszenia niepewności (law of propagation of uncertainty).

Materiały:

  • Podręcznik z geodezji o teorii błędów i dokładności pomiarów (rozdziały o propagacji błędów)
  • Materiały dydaktyczne z rachunku wyrównawczego (część: rachunek błędów dla funkcji)
  • Zadania maturalno-techniczne z propagacji niepewności dla prostych funkcji (kwadrat, iloczyn, suma)
Zobacz też:

Aktualizacja pytania: 31.03.2026



Aktualizacja pytania: 31.03.2026
📡 Brak połączenia internetowego