W zadaniu trzeba wyznaczyć średni błąd (błąd średni) powierzchni działki na podstawie średniego błędu pomiaru boku. Dla kwadratu zależność jest prosta, bo pole zależy od jednej zmiennej:
P=a2
Krok 1. Wyznaczenie długości boku.
Podano P=1 hektar, czyli 10 000 m2. Zatem
a=√P=√10 000=100 m.
Krok 2. Zastosowanie prawa przenoszenia błędów średnich (propagacja błędów).
Dla funkcji jednej zmiennej P(a) średni błąd wyniku wyznacza się z liniaryzacji (różniczka/pochodna):
mP=|∂P/∂a|·ma, gdzie ma to błąd średni pomiaru boku.
Ponieważ ∂(a2)/∂a=2a, otrzymujemy:
mP=2a·ma
Krok 3. Podstawienie danych liczbowych.
a=100 m, ma=0,10 m, więc
mP=2·100·0,10=20 m2.
Dlaczego pozostałe odpowiedzi są niepoprawne?
- Wartość 10 m2 wynika zwykle z pominięcia współczynnika 2 (błędnie przyjęte mP=a·ma), czyli nieuwzględnienia pochodnej funkcji P=a2.
- Wartość 100 m2 sugeruje błąd skali (np. potraktowanie 0,10 m jak 1 m albo nieprawidłowe przeliczenie jednostek).
- Wartość 200 m2 powstaje zazwyczaj z podwojenia poprawnego wyniku bez uzasadnienia matematycznego lub z mechanicznego użycia niewłaściwego wzoru.
Wskazówka egzaminacyjna: gdy pole jest postaci "coś do kwadratu", bardzo często w propagacji błędu pojawia się mnożnik 2 z pochodnej. Najpierw policz wymiar (tu: bok 100 m), dopiero potem niepewność wyniku (tu: 20 m2).
